Question

怎么将一个行列式变成三角形行列式，有什么技巧。

比如说
1 2 3 4
4 1 2 3
3 4 1 2
2 3 4 1
这个行列式 怎么变成三角形的，为什么要这样变。越详细越好。
555~~这个问题快把我折腾坏了.....

Answer 1

参见附图

①因为各列都是由1、2、3、4这四个数字组成，第一行分别加上第2、3、4行，再提取公因数后，第一行就会变成四个1，便于消去下方的非零元。

②提取第一行的公因数10（这样（1,1）元成为1，便于利用它把它下方的元素化为0）；

③设法把2、3、4行的第一个元素化为0。具体做法是：把第2行加上第1行的-4倍；第3行加上第1行的-3倍；第4行加上第1行的-2倍。

下面注意力就放到由2、3、4行，2、3、4列组成的子矩阵上。由于它左上角的元素不是它下面的2个元素的公因数，不便于用它的倍数同时化下方元素为0，可以设法把它化为1。根据这里的具体情况我们可以——

④交换3、4两行，然后再交换新的2、3两行（两次换行，行列式不变号）

⑤第3行加上第2行的3倍，第4行加上第2行的-1倍。

现在只差把(4，3)元化为0了，因为它上方的元素恰好是它的相反数，所以——

⑥第4行加上第3行。(其实也可以交换3、4两列)

现在已经把这个行列式化到三角形了。

Answer 2

消元法。
第一行×4-第二行，放在第二行；
第一行×3-第三行，放在第三行；
第一行×2-第四行，放在第四行；
这样第一列就只有第一个数是非零的了。
下面不看第一行，处理2-4行的第二列，相同的方法，使只有第二行的第二个数非零，三四行的第二个数都为零。
然后处理第三列，第四列。