Question

考研数学题

设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，f(a)*f(b)>0,f(a)*f[(a+b)/2]<0,证明存在一个§属于(a,b)使f'(§)=f(§)

Answer 1

由题可知，f(a)*f((a+b)/2)<0,f(b)*f((a+b)/2)<0
零点定理得：在[a,(a+b)/2]和[(a+b)/2,b]上分别至少存在一点$1和$2使得
f($1)=f($2)=0
构造函数F(x)=f(x)*e^(-x)
可得F($1)=F($2)=0
罗尔定理得，在[$1,$2]上至少存在一点$3，使得F'($3)=0
从而得证。