设A为n×n矩阵.证明：如果A方＝E,则秩（A+E）+秩（A-E）＝n.
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证: 由A^2=E, 得 (A+E)(A-E)=0
所以 r(A+E)+r(A-E) ≤ n
又 |A^2|=|A|*|A|=1, 即|A|≠0,r(A)=n
所以 n=r(2A)=r[(A+E)+(A-E)] ≤ r(A-E)+r(A+E)
所以 r(A)+r(A+E)=n
知识点:
1. AB=0 则 r(A)+r(B) ≤ n
2. r(A+B) ≤ r(A)+r(B)
所以 r(A+E)+r(A-E) ≤ n
又 |A^2|=|A|*|A|=1, 即|A|≠0,r(A)=n
所以 n=r(2A)=r[(A+E)+(A-E)] ≤ r(A-E)+r(A+E)
所以 r(A)+r(A+E)=n
知识点:
1. AB=0 则 r(A)+r(B) ≤ n
2. r(A+B) ≤ r(A)+r(B)
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