Question

一道函数奇偶性的题！ 要详细的解题思路，谢谢！

已知函数f(x)的定义域是x不等于0的一切实数，对定义域内的人体X1,X2都有f(x1乘x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时f(x)>0,f(2)=1
(1)求证：f(x)是偶函数 （2）求证：f(x)在（0，正无穷）上是增函数

Answer 1

由f(x1*x2)=f(x1)+f(x2)推导出：
f(1*1)=f(1)+f(1)得出f(1)=0
因此f[(-1)*（-1)]=f(1)=f(-1)+f(-1)=0得出f(-1)=0
所以,f[(-1)*x]=f(x)+f(-1)=f(x)
又定义域关于原点对称.
所以f(x)是偶函数

2.f[x*(1/x)]=f(1)=f(x)+f(1/x)=0所以f(1/x)=-f(x)
设x2＞x1＞0
f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(1/x1)=f(x2/x1)
因为x2＞x1＞0 所以x2/x1＞1
因为x＞1时,f(x)＞0 所以f(x2/x1)＞0
所以f(x2)-f(x1)＞0
得出f(x)在(0,+∞）上是增函数

Answer 2

（1）2f(x)=f(x*x)=f[(-x)(-x)]=2f(-x),
∴f(x)=f(-x),
∴f(x)是偶函数。
（2）设0<x1<x2,则x2/x1>1,
f(x2)=f(x1*x2/x1)=f(x1)+f(x2/x1)>f(x1),
∴f(x)在（0，+∞）上是增函数。

Answer 3

f(-1) = f( 1(-1))
= f(1) + f(-1)
= f( (-1)(-1) ) + f(-1)
= f(-1) + f(-1) + f(-1)

=> f(-1) =0

f(-x) = f( -1 . x)
= f(-1) + f(x)
= f(x)

f(x) 是偶函数

for x2> x1
let x2=x1+a where a>0
f(x2) - f(x1)
=f(x1+a)- f(x1)
=f(x1) +f(a) -f(x1)
=f(a) >0
f(x)在（0，正无穷）上是增函数