Question

设a>0,记函数f(x)=a√1-x∧2 +√1+x + √1-x 的最大值为g(a),设t=√1+x +√1-x.并将t作为自变量，把f(x)表

示为t的函数m(t)

Answer 1

先求m(t)

t^2=1+x+1-x+2√(1-x^2)=2+2√(1-x^2)

所以√(1-x^2)=(t^2-2)/2

a√(1-x^2)=a*(t^2-2)/2

所以 m(t)=f(x)=a√(1-x^2) +√(1+x) + √(1-x)=a*(t^2-2)/2 +t=a*t^2/2 +t-a

现在求g(a),g(a)为f(x)的最大值，即为m(t)的最大值

因为t^2=2+2√(1-x^2) 且0<=2√(1-x^2)<=2

所以2<=t^2<=4 即√2<=t<=2 即函数m(t)的定义域为【√2，2】

因为a>0,所以m(t)=a*t^2/2 +t-a 是关于t的开口向上的2次函数

所以m(t)的最大值在m(√2)和m(2)中取得

m(√2)=√2<m(2)=a+2

所以，m(t)在定义域内的最大值为m(2)

即g(a)=2+a