Question

a^2+c^2-b^2=1/2ac, (1)sin^2(A+C)/2+cos2B的值 （2）若b=2,求三角形ABC面积的最大值

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Answer 1

（1）因为a^2+c^2-b^2=1/2ac

根据余弦定理可得cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=1/4

因为sin^2(A+C)/2=sin^2(π/2-B/2)=cos^2(B/2)=(cosB+1)/2

cos2B=2cos^2B-1

所以sin^2(A+C)/2+cos2B=(cosB+1)/2+2cos^2B-1=-1/4

(2)因为cosB=1/4,即B的角度是一定的，b=2

则画一个△ABC的外接圆，点B在圆弧上运动

根据圆中同一条圆弧对应的角相等，结合图像可知，只有在AB=BC的时候，三角形ABC面积最大

即a=c，则a^2+c^2-b^2=1/2ac可化为a^2=3b^2/2=6

因为cosB=1/4,所以sinB=√15/4

所以S△ABC最大值=1/2*AB*BC*sinB=1/2*a^2*√15/4=3√15/4