如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB=2EF=2，∠BFC=90°，BF=FC，H为BC的中
如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB=2EF=2，∠BFC=90°，BF=FC，H为BC的中点．（Ⅰ）求证：FH∥平面EDB...
如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB=2EF=2，∠BFC=90°，BF=FC，H为BC的中点．（Ⅰ）求证：FH∥平面EDB；（Ⅱ）求证：AC⊥平面EDB；（Ⅲ）求二面角B-DE-C的大小．
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解答：证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB⊥BC．
又EF∥AB，∴EF⊥BC．
又EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC．∴EF⊥FH，∴AB⊥FH．
又BF=FC，H为BC的中点，∴FH⊥BC，
∴FH⊥平面ABC．---（2分）
以H为坐标原点，
为x轴正向，
为z轴正向，建立如图所示坐标系．
则A（1，-2，0），B（1，0，0），C（-1，0，0），D（-1，-2，0），E（0，-1，1），F（0，0，1）．
（Ⅰ）证明：设AC与BD的交点为G，连GE，GH，则G（0，-1，0），
∴
=（0，0，1），又
=（0，0，1）∴
∥
．
GE?平面EDB，HF不在平面EDB内，∴FH∥平面EBD．---（5分）
（Ⅱ）证明：
=（-2，2，0），
=（0，0，1），
?
=0，∴AC⊥GE．
又AC⊥BD，EG∩BD=G，∴AC⊥平面EDB．---（8分）
（Ⅲ）解：
=（-1，-1，1），
=（-2，-2，0）．
设平面BDE的法向量为
=（1，y1，z1），
则
?
=-1-y1+z1=0，
?
=-2-2y1=0，
∴y1=-1，z1=0，即
=（1，-1，0）．
=（0，-2，0），
=（1，-1，1）．设平面CDE的法向量为
=（1，y2，z2），
则
?
=0，y2=0，
?
=0，1-y2+z2=0，z2=-1，故
=（1，0，-1），
cos＜
，
又EF∥AB，∴EF⊥BC．
又EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC．∴EF⊥FH，∴AB⊥FH．
又BF=FC，H为BC的中点，∴FH⊥BC，
∴FH⊥平面ABC．---（2分）
以H为坐标原点，
| HB |
| HF |
则A（1，-2，0），B（1，0，0），C（-1，0，0），D（-1，-2，0），E（0，-1，1），F（0，0，1）．
（Ⅰ）证明：设AC与BD的交点为G，连GE，GH，则G（0，-1，0），
∴
| GE |
| HF |
| HF |
| GE |
GE?平面EDB，HF不在平面EDB内，∴FH∥平面EBD．---（5分）
（Ⅱ）证明：
| AC |
| GE |
| AC |
| GE |
又AC⊥BD，EG∩BD=G，∴AC⊥平面EDB．---（8分）
（Ⅲ）解：
| BE |
| BD |
设平面BDE的法向量为
| n1 |
则
| BE |
| n1 |
| BD |
| n1 |
∴y1=-1，z1=0，即
| n1 |
| CD |
| CE |
| n2 |
则
| n2 |
| CD |
| n2 |
| CE |
| n2 |
cos＜
| n1 |
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