Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点E．若AE=4，CE=8，DE=3，梯形ABCD的高是 ，面积是54

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点E．若AE=4，CE=8，DE=3，梯形ABCD的高是 ，面积是54．求证：AC⊥BD．

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Answer 1

证明见解析.

试题分析：由AD∥BC，可证明△EAD∽△ECB，利用相似三角形的性质即可求出BE的长，过D作DF∥AC交BC延长线于F，则四边形ACFD是平行四边形，所以CF=AD，再根据勾股定理的逆定理证明BD⊥DF即可证明AC⊥BD. 试题解析：∵AD∥BC，∴△EAD∽△ECB. ∴AE：CE=DE：BE. ∵AE=4，CE=8，DE=3，∴BE=6. ∵S 梯形 = （AD+BC）× =54，∴AD+BC=15. 过D作DF∥AC交BC延长线于F，则四边形ACFD是平行四边形， ∴CF="AD." ∴BF=AD+BC=15. 在△BDF中，BD 2 +DF 2 =9 2 +12 2 =225，BF 2 =225，∴BD 2 +DF 2 =BF 2 . ∴BD⊥DF. ∵AC∥DF，∴AC⊥BD.