Question

如图，点P是等腰直角三角形ABC底边BC上一点，过点P作BA、AC的垂线，垂足是E、F，点D为BC的中点．（1）求

如图，点P是等腰直角三角形ABC底边BC上一点，过点P作BA、AC的垂线，垂足是E、F，点D为BC的中点．（1）求证：DE⊥DF；（2）当点P在BC的延长线上时，DE⊥DF是否成立？说明理由．

Answer 1

（1）证明：如图1，连接AD，
∵等腰直角三角形ABC，点D为BC的中点．
∴∠BAC=90°，∠BAD=∠ACB=45°，AD⊥BC，AD=BD=CD=

1

2

BC，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，∠BAC=90°，
∴四边形AEPF是矩形，△PFC是等腰直角三角形，
∴AE=PF，PF=FC，
∴AE=FC，
在△AED与△CFD中

AE＝CF ∠EAD＝∠FCD AD＝DC

，
∴△AED≌△CFD（SAS），
∴∠ADE=∠CDF，
∵∠ADF+∠CDF=∠ADC=90°，
∴∠ADE+∠ADF=90°，
∴DE⊥DF．

（2）当点P在BC的延长线上时，DE⊥DF成立；理由：
解：如图2，连接AD，
∵等腰直角三角形ABC，点D为BC的中点．
∴∠BAC=90°，∠CAD=∠ACB=45°，AD⊥BC，AD=BD=CD=

1

2

BC，
∴∠PCF=45°，
∴∠DCF=135°，
∵∠CAE=90°
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=45°+90°=135°
∴∠EAD=∠FCD，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，AB⊥AC，
∴四边形AEPF是矩形，△PFC是等腰直角三角形，
∴AE=PF，PF=FC，
∴AE=FC，
在△AED与△CFD中

AE＝CF ∠EAD＝∠FCD AD＝DC

，
∴△AED≌△CFD（SAS），
∴∠ADE=∠CDF，
∵∠ADF+∠CDF=∠ADC=90°，
∴∠ADE+∠ADF=90°，
∴DE⊥DF．