Question

一些高一数学函数问题

我承认我是数学白痴，高手帮帮忙吧，要过程和方法
①已知函数f(x)=ax+b/1+x²是定义在（-1.1）上的奇函数，且f(1/2)=2/5
（1）用定义证明f(x)在（-1.1）上是增函数；
（2）解不等式f(t-1)+f(t)＜0
②判断并证明函数f(x)=1/1+x²的单调性
③设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，又f(x)+g(x)=1/x-1,则f(x)=___g(x)=___
④已知函数f(x)=1/x²+1,令g(x)=f(1/x),求证：f(x)+g(x)=1(x≠0）
⑤已知函数f(x)=x²+a/x(x≠0,a∈R),若f(x)在区间[2,+∞）上是增函数，求实数a的取值范围

Answer 1

（1）因为是奇函数

所以f(x)=-f(-x)

所以ax+b/1+x²=f(x)=-f(-x)=-[-ax+b/1+x²]=ax-b/1+x²

所以ax+b=ax-b

所以b=0

既f(x)=ax/1+x²，又f(1/2)=2/5

2/5=a*(1/2)/[1+(1/4)]

a=1

所以f(x)=x/1+x²=X+x²=x(X+1)

令f(x)=0得X=0或X=-1

 又f(x)定义在（-1.1）上的奇函数

所以当X=0时，f(x)=0

    当X=-1时，f(x)=0

    当X=1时，f(x)=2

所以f(x)在（-1.1）上是增函数

（2）既(t-1)/[1+(t-1)^2] + t/(1+t^2)<0      通分，得

(2t^3 +3t-3t^2-1)/{[1+(t-1)^2](1+t^2)}<0

又[1+(t-1)^2](1+t^2)>0

所以2t^3 +3t-3t^2-1>0

既(t-1)^3 +t^3>0

(t-1)^3>(-t)^3

t-1>-t

2t>1

t>1/2

又t属于(-1,1)

所以1/2<t<1 

②f(x)=x/(x&sup2;-1)

f'(x)= [(x&sup2;-1)-x(2x)] /(x&sup2;-1)^2 = - [x&sup2;+1]/(x&sup2;-1)^2 < 0

f(x)=x/x&sup2;- 1 是（-1，1）上单调递减函数 

如下图：

③∵f(x)+g(x)=1/（x-1）.....① 

∴f(-x)+g(-x)=1/（-x-1） 

又∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数 

∴f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)=1/（-x-1）.....② 

由①-②得

2f(x)=1/（x-1）-1/（-x-1）=2/(x^2-1) 

∴f(x)=1/(x^2-1) 

由①+②得

2g(x)=1/（x-1）+1/（-x-1）=2x/(x^2-1) 

∴g(x)=x/(x^2-1) 

④证明：f(x)=1/(x&sup2;+1),令g(x)=f(1/x)=1/[(1/x)&sup2;+1]=x&sup2;/(x&sup2;+1)

f(x)+g(x)=1/(x&sup2;+1)+x&sup2;/(x&sup2;+1)=1

⑤解：f(x)的导数为2X-a/x&sup2;=[2（x的立方）-a]/x&sup2;

f(x)的导数≥0时，即2（x的立方）-a≥0

所以，当≥2时，a≤ 2（x的立方） 恒成立

所以a≤16 

底下这个图是第②个解的图。