Question

函数f(x)=1/4x^4+1/3ax^3-a^2x^2+a^4(a>0).1）求函数的单调区间 2）若函数图像与直线y=1有两个交点，求a的

Answer 1

1）求函数的单调区间

f'(x)=1/4*4x^3+1/3a*3x^2-a^2*2x=x^3+ax^2-2a^2x=x(x^2+ax-2a^2)=x(x-a)(x+2a)
令f'(x)=0，解得x1=-2a,x2=0,x3=a，即函数在x1=-2a,x2=0,x3=a有极值
因为a＞0，所以有4个单调区间（-∞，-2a），（-2a，0），（0，a），（a，+∞）
f''=3x^2+2ax-2a^2
f''(-2a)=12a^2-4a^2-2a^2=6a^2＞0，所以在x=-2a有极小值；
f''(0)=0+0-2a^2=-2a^2＜0，所以在x=0有极大值；
f''(a)=3a^2+2a^2-2a^2=3a^2＞0，所以在x=a有极小值。
所以单调区间分布：
（-∞，-2a），单调递减；
（-2a，0），单调递增；
（0，a），单调递减；
（a，+∞），单调递增。

2）若函数图像与直线y=1有两个交点，求a的取值范围
先求出函数(x)=1/4x^4+1/3ax^3-a^2x^2+a^4(a>0).的三个极值：
极小值f(-2a)=1/4*16a^4+1/3a*(-8a^3)-a^2*4a^2+a^4=-11a^4/3
极大值f(0)=0+0+0+a^4=a^4
极小值f(a)=1/4a^4+1/3a*a^3-a^2*a^2+a^4=7/12a^4
由于函数（-∞，-2a），单调递减；（-2a，0），单调递增；（0，a），单调递减；（a，+∞），单调递增，要想函数图像与直线y=1有两个交点，只需图像最两侧穿过y=1，即f(0)小于1即可，即：
a^4＜1，由因为a＞0
所以0＜a＜1

Answer 2

f’（x）=x^3+ax^2-2ax=x(x+2a)(x-a)

因为a>0,所以f（x）的三个驻点是x=-2a，x=0，x=a

当x≤-2时，f‘（x）≤0,所以在（-∞,-2a】是单调递减函数

当-2a≤x≤0时，f’（x）≥0,所以在【-2a，0】是单调递增函数

当0≤x≤a时，f’（x）≤0，所以在【0，a】是单调递减函数

当x≥a时，f'(x)≥0，所以在【a，+∞）是单调递增函数

2）、函数与y=1有两个交点，则

(1)f（a）>1,f（-2a）<1

得a^4/4+a^4/3-a^4+a^4>1 =>a>（12/7)^(1/4)
4a^4-8a^4/3-4a^4+a^4<1恒成立的

（2）、f（0）<1

得a^4<1,得0<a<1

所以满足条件 的a为a>（12/7)^(1/4)或0<a<1

Answer 3

y'=x^3+ax^2-2a^2x
令y'=0,则有：
x(x^2+ax-2a^2)=0
x(x-2a)(x+a)=0
所以：
x=0,x=2a,x=-a.
(1)当x<-a或者0<ax<2a时候，y'<0,函数单调减，有减区间(-∞，-a）∪（0,2a）
(2)当-a<x<0或者x>2a时候，y'>0,函数单调增，有增区间(-a,0)∪(2a,+∞）

因为：
f(-a)=-a^4/12-1<0
f(2a)=-a^4/12-1<0
结合函数的单调性，要求函数只有两个零点，必有：
f(0)<0
即：a^4-1<0
(a^2+1)(a^2-1)<0
所以：
a^2-1<0
(a-1)(a+1)<0
所以：0<a<1.

Answer 4

7