Question

已知函数f(x)=(1/3)^x，x∈[-1,1]函数g（x）=f^2(x)-2af(x)+3的最小值为h（a），求h（a）

1.已知函数f(x)=(1/3)^x，x∈[-1,1]函数g（x）=f^2(x)-2af(x)+3的最小值为h（a），求h（a）

2.已知f(x)=x^3+bx+c为偶函数，曲线y=f(x)过（2，5）点，g（x）=（x+a）f（x）
（1）若曲线y=g（x）有斜率为0的切线，求实数a的取值范围
（2）若当x=-1时函数y=g（x）取得极值，且方程g（x）+b=0有仨不同的实数解，求b的取值范围

3.设f(x),g(x)在[a,b]上可导，且f'（x）>g'(x)，则当a<x<b时，有 ( )
A.f(x)>g(x) B. f(x)<g(x) C.f(x)+g(a)>g(x)+f(a) D.f(x)+g(b)>g(x)+f(b)
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Answer 1

1．函数f(x)=(1/3)^x，x∈[-1，1]，
由指数函数单调性可知，1/3≤f(x)≤3，
设t=f(x)，则t∈[1/3，3]，
g(x)=t²-2at+3，
①当a≤1/3时，h(a)=g(1/3)= -(2a/3)+28/9；
②当1/3<a<3时，h(a)=g(a)= -a²+3；
③当x≥3时，h(a)=g(3)= -6a+12.
∴{h(a)= -(2a/3)+28/9，(a≤1/3)；h(a)= -a²+3，(1/3<a<3)；h(a)= -6a+12，(x≥3).

2．∵f(x)=x²+bx+c为偶函数，∴b=0，f(x)= x² +c，
又曲线y=f(x)过点（2，5），∴c=1，f(x)=x²+1.

g(x)=(x+a)f(x)=(x+a)(x²+1)=x³+ax²+x+1，
g′(x)=3x²+2ax+1，

（1）∵曲线y=g(x)有斜率为0的切线，
∴3x²+2ax+1=0有解，
故△=4a²-12≥0，得a≤-√3，或a≥√3，
即a的取值范围是a≤-√3，或a≥√3.

（2）∵当x= -1时，函数g(x)取得极值，
∴g′(-1)=0，即3×(-1)²+2a×(-1)+1=0，得a=2，

g(x)= x³+2x²+x+1，g′(x)=3x²+4x+1=(3x+1)(x+1)，
∴当x< -1时，g′(x)>0，g(x)为增函数；
当-1<x<-1/3时，g′(x)<0，g(x)为减函数；
当x> -1/3时，g′(x)>0，g(x)为增函数；
∴当x= -1时，g(x)取极大值g(-1)=1；
当x= -1/3时，g(x)取极小值g(-1/3)= 23/27，

要使方程g(x)+b=0有三个不同的实数解，则23/27< -b<1，即 -1<b<-23/27，
∴b的取值范围是（-1，-23/27）.

3．设F(x)=f(x)-g(x)，x∈[a，b]，
则F′(x)= f′(x)-g′(x)，
由题意，F′(x)>0，
∴F(x)在[a，b]上为增函数，
∴当a<x<b时，F(a)<F(x)<F(b)，即f(a)-g(a)<f(x)-g(x)< f(b)-g(b)，
∴f(x)+g(a)>g(x)+f(a)，f(x)+g(b)<g(x)+f(b).
故选C.