求下列齐次方程的通解(2y^2 -xy)dx-(x^2 -xy+y^2)dy=0
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简单分析一下，答案如图所示
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Sievers分析仪
2024-12-30 广告
是的。传统上，对于符合要求的内毒素检测，最终用户必须从标准内毒素库存瓶中构建至少一式两份三点标准曲线；必须有重复的阴性控制；每个样品和PPC必须一式两份。有了Sievers Eclipse内毒素检测仪，这些步骤可以通过使用预嵌入的内毒素标准...
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首先判断该齐次方程是否为恰当方程，可以计算：
∂(2y^2 -xy)/∂y = 4y - x
∂(x^2 -xy+y^2)/∂x = 2x - y
因为∂(2y^2 -xy)/∂y ≠ ∂(x^2 -xy+y^2)/∂x，所以该齐次方程不是恰当方程。
接下来使用齐次方程的解法：
令u = y/x，则y = ux，dy = udx + xdu
将y代入原方程得：(2u^2 -u)x^2dx - (x^2u^2 -x^2u + u^2x^2)udx - x^3du = 0
化简后得到：x^2(2u^2 - u - u^2 + u - u^2)dx - x^3du = 0
即：x^2(u^2 - u)dx - x^3du = 0
再令v = u^2 - u，则u = (1±√1+4v)/2
则上式可化为：x^2vd(x/(1±√1+4v)/2) + x^3du = 0
化简得：d(-x/(1±√1+4v)/2) + xdv = 0
对其进行分离变量，得：d(-x/(1±√1+4v)/2)/v = -dx/x
对其两边进行积分，得：ln|x| = ln|v| - ln|1±√1+4v| + C
其中C为常数，化简得：x^2 = C(v^2 - v)/(1±√1+4v)
将v = u^2 - u = (y/x)^2 - y/x代入，得：x^2 = C[(y/x)^2 - y/x]/(1±√1+4[(y/x)^2 - y/x])
综上所述，该齐次方程的通解为：x^2 = C[(y/x)^2 - y/x]/(1±√1+4[(y/x)^2 - y/x])，其中C为常数。
∂(2y^2 -xy)/∂y = 4y - x
∂(x^2 -xy+y^2)/∂x = 2x - y
因为∂(2y^2 -xy)/∂y ≠ ∂(x^2 -xy+y^2)/∂x，所以该齐次方程不是恰当方程。
接下来使用齐次方程的解法：
令u = y/x，则y = ux，dy = udx + xdu
将y代入原方程得：(2u^2 -u)x^2dx - (x^2u^2 -x^2u + u^2x^2)udx - x^3du = 0
化简后得到：x^2(2u^2 - u - u^2 + u - u^2)dx - x^3du = 0
即：x^2(u^2 - u)dx - x^3du = 0
再令v = u^2 - u，则u = (1±√1+4v)/2
则上式可化为：x^2vd(x/(1±√1+4v)/2) + x^3du = 0
化简得：d(-x/(1±√1+4v)/2) + xdv = 0
对其进行分离变量，得：d(-x/(1±√1+4v)/2)/v = -dx/x
对其两边进行积分，得：ln|x| = ln|v| - ln|1±√1+4v| + C
其中C为常数，化简得：x^2 = C(v^2 - v)/(1±√1+4v)
将v = u^2 - u = (y/x)^2 - y/x代入，得：x^2 = C[(y/x)^2 - y/x]/(1±√1+4[(y/x)^2 - y/x])
综上所述，该齐次方程的通解为：x^2 = C[(y/x)^2 - y/x]/(1±√1+4[(y/x)^2 - y/x])，其中C为常数。
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