Question

将下列矩阵化为最简形矩阵

2 -1 3 1
2 0 2 6
4 2 2 7

Answer 1

注：初等变换的次序不惟一，但是最后得到的结果（行最简形和等价标准型）是惟一的。
2 -1 3 1
2 0 2 6
4 2 2 7

第二行乘-1去消第一行，第二行乘-2去消第三行==>

0 -1 1 -5
2 0 2 6
0 2 -2 -5

第二行乘1/2后和第一行换位置==>

1 0 1 3
0 -1 1 -5
0 2 -2 -5

此时的第二行乘2去消第三行==>

1 0 1 3
0 -1 1 -5
0 0 0 -15

这时候就得到了一个 行阶梯型矩阵

然后第二行乘-1，第三行乘-1/15，得到

1 0 1 3
0 1 -1 5
0 0 0 1

再用第三行的1去消它上面的3和5，就是第三行的-5和-3倍分别加到第二行和第一行上，得到

1 0 1 0
0 1 -1 0
0 0 0 1

这就是行最简形啦

如果还想得到等价标准型，就要进行初等列变换了（以上各步都是行变换，保证求解线性方程组的同解，一旦使用列变换就会出问题了）

第三、四列换位置，得到

1 0 0 1
0 1 0 -1
0 0 1 0

然后用第一列的-1倍和第二列的1倍加到第四列，得到等价标准型

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0