Question

急！！问一道高中数学题

已知曲线C:(x^2)/5+y^2=1,D(0,4),过D点的直线L与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设DMDN=λ，求λ的取值范围

Answer 1

这是一个关于椭圆的定比分点弦的问题。

点D(0,4)显然在椭圆外部.设直线L的方程为y=kx+4,和曲线C联立有
x²+5(kx+4)²=5
整理得，(5k²+1)x²+40kx+75=0
λ = DM/DN
= xM/xN
= 【(-40k+√△)/[2(5k²+1)]】/【(-40k-√△)/[2(5k²+1)]】
= (40k-√△)/(40k+√△)
= [40k-10√(6k²-2)]/[40k+10√(6k²-2)]
= [4k-√(6k²-2)]/[4k+√(6k²-2)]
对于定义域为6k²-2≥0，这是一个函数值域的问题。
我们这样处理，
λ = [4-√(6-2/k²)]/[4+√(6-2/k²)]
= -1 + 8/[4+√(6-2/k²)]
而0≤6-2/k²≤6，所以0≤√(6-2/k²)≤√6
因此(11-4√6)/5≤λ≤1 .