Question

已知函数f(x)=x^2/x-2,(x∈R,且x≠2)(1)求f(x)的单调区间

(2)若函数g(x)=x²-2ax与函数f(x)在x∈[0,1]时有相同的值域,求a的值

Answer 1

(1)令X-2=t x=t+2 (t≠0)
F(t)=(t+2)^2/t=t+4+4/t
F(t)'=1-4/t^2=(t^2-4)/t^2
在[-2 2] F(t)'<=0 F(t)单调减
在(负无穷 -2)或(2 正无穷) F(t)'>0 F(t)单调增
x=t+2 所以 在[0 4] f(x)'<=0 f(x)单调减
在(负无穷 0)或(4 正无穷) f(x)'>0 f(x)单调增
(2)在x∈[0,1]上f(x)的值域[f(1) f(0)]即[-1 0]
g(x)=x2-2ax=(x-2a)x 对称轴X=a 两个根0，2a
x∈[0,1]值域为[-1 0] 且g(0)=0
所以2a>=1 a>=1/2
当对称轴X=a在[1/2 1] g(a)=-1=-a^2 a=1
当对称轴X=a>1 g(1)=-1=1-2a a=1(舍去）
a=1
注意画图 对称轴不可能小于0