Question

高三函数题

设二次函数f(x)=ax^2+bx+c在区间[-2,2]上的最大值、最小值分别是M、m，集合A={x|f(x)=x}
(1)若A={1,2}，且f(0)=2,求M和m的值
(2)若A={2}，且a≥1，记g(a)=M+m,求g(a)的最小值
要求有详细过程，谢谢

Answer 1

（1）集合A={x|f(x)=x}={1,2}
表示当f(x)=x,即ax^2+(b-1)x+c=0时，
两根x1,x2分别为1,2
所以由韦达定理得x1+x2=-(b-1)/a=3
x1*x2=c/a=2
再由f(0)=c=2 解得a=1,b=-2,c=2
所以f(x)=x^2-2x+2=(x-1)^2+1
由f(x)图像可知:
m=f(x)min=f(1)=1
M=f(x)max=f(-2)=10
(2)集合A={x|f(x)=x}={2}
表示当f(x)=x,即ax^2+(b-1)x+c=0时，
只有唯一的一个根x=2
所以得△=（b-1)^2-4ac=0
且x=-b/2a=2
代入得b=-4a ,c=[(b-1)^2]/4a=4a+1/(4a)+2
则f(x）=ax^2-4ax+4a+1/(4a)+2
因为a≥1，所以可以利用基本不等式
得f(x)≥ax^2-4ax+2[√4a*1/(4a)]+2
=ax^2-4ax+4
对称轴x=-b/2a=-(-4a)/2a=2
由f(x)的图像可知：
m=f(X)min=f(2)=-4a+4
M=f(x)max=f(-2)=12a+4
则 g(a)=M+m=8a+8 (a≥1)
由g(a)的图像可知：g(a)在[1,+∞)上单调递增
所以g(a)min=g(1)=8*1+8=16