Question

二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x，且f(0)=1。详细问题见描述！

二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x，且f(0)=1。求f(x)解析式；f(x)在区间【-1，1】上的值域；在区间【-1，1】上，y=f(x)的图像恒在y=2x+m上方，求m的取值范围？

Answer 1

解：
(1)方法一:取特殊值法
设f(x)=ax²+bx+1
令x=0 则f(1)=f(0)+2＊0=1
a+b=0
令x=1 则f(2)=2+f(1)=3
4a+2b+1=3
解得a=1 b=-1
f(x)=x²-x+1

方法二:对照系数法
设f(x)=ax²+bx+1
f(x+1)=ax²+2ax+bx+a+b+1
f(x+1)=f(x)+2x=ax²+(b+2)x+1
对照系数
2a+b=b+2
a+b+1=1
解得a=1 b=-1
f(x)=x²-x+1

(2)f(x)对称轴:1/2 (对称轴公式)
∵1/2∈[-1,1]
∴f(x)在区间[-1,1]上最小值为f(1/2)=3/4
根据图像易得 -1与对称轴的距离大于1与对称轴的距离
根据二次函数的对称性得 : f(-1)＞f(1)

∴f(x)在[-1,1]上的最大值是f(-1)=1+1+1=3

综上：f(x)在区间[-1,1]上的值域为[3/4,3]

(3)∵区间[-1，1]上，y=f(x)的图像恒在y=2x+m上方
∴在区间[-1,1]上 恒有 f(x)=x²-x+1＞2x+m
移项得:x²-3x-m+1＞0 ①
要使①式恒成立
则 △=(-3)²-4·(1-m)＜0
解得:m＜-5/4

综上:m＜-5/4

Answer 2

令f(x)=ax²+bx+c
f(x+1)-f(x)
=a(x+1)²+b(x+1)+c-ax²-bx-c
=2ax+a+b
即2ax+a+b=2x
所以2a=2 ,b+a=0即a=1,b=-1
f(0)=c=1
所以f(x)=x²-x+1=(x-1/2)²+3/4
在区间【-1，1】上值域[3/4,3]
y=f(x)的图像恒在y=2x+m上方
则x²-x+1>2x+m即x²-3x+1-m>0恒成立
△=9-4(1-m)<0
解得m<-5/4