Question

已知抛物线y^2=2px(p>0)，焦点为F，一直线l与抛物线交于A、B两点，且AF+BF=8，且AB的垂直平分线恒过定点S

已知抛物线y^2=2px(p>0)，焦点为F，一直线l与抛物线交于A、B两点，且AF+BF=8，且AB的垂直平分线恒过定点S（6，0）
(1)求抛物线方程
（2）求三角形ABS面积的最大值

Answer 1

答：
① 焦点在x轴上，可设抛物线方程为：y² = 2px。可以判断焦点在(p/2,0)点。

② 设A点坐标(x1,y1),B点坐标(x2,y2)，设AB斜率是k，线段AB的垂直平分线斜率是k'
则：kk' = -1，所以：
(y1-y2)/(x1-x2) * [(y1+y2)/2 - 0 ]/[(x1+x2)/2 - 6] = -1
(y1² - y2²) / [x1² - x2² -12(x1 - x2)] = -1
代入y1²=2px1,y2²=2px2，化简：
2p/(x1 + x2 - 12) = -1
x1 + x2 = 12 - 2p ---<1>

③
AF²=(x1 - p/2)² + y1² = (x1 - p/2)² + 2px1 = (x1 + p/2)²
AF = x1 + p/2
同理：
BF = x2 + p/2

AF + BF = x1 + x2 + p ---<2>

<1>link<2>:
12 - 2p + p = 8
p=4

综上：
抛物线方程：
y² = 8x