Question

1 已知函数f(x)=2x³+ax与g(x)=bx²+c的图像都过P（2，0）且在点P处有相同切线

1 已知函数f(x)=2x³+ax与g(x)=bx²+c的图像都过P（2，0）且在点P处有相同切线。
（1）求实数a,b,c的值；（2）设函数F（x）=f(x)+g（x）,求F(x)的单调区间，并指出F(x)在该区间的单调性。
2 已知函数f(x)=2x²-10x，g(x)=-37/x,是否存在整数m，使得函数f(x)与g(x)图像在区间（m,m+1)内有且仅有两个公共点，若有，求出m的值，若没有，请说明理由。

Answer 1

1、
(1)
因为f(x),g(x)经过点P（2，0）所以有
2*2³+2a=0 => a=-8
4b+c=0 => c=-4b
又因为f(x),g(x)在P（2，0）处有相同切线，
所以f(x),g(x)在P（2，0）的斜率相同，即导数相同
f'(x)=6x²+a
g'(x)=2bx
可知f'(2)=g'(2)即
6*2²+a=2b*2
4b-a=24
将a=-8代入得
b=4
那么c=-4b=-16
所以 a=-8 ，b=4 ，c =-16
（2）
F(x)=2x³+4x²-8x-16
F'(x)=6x²+8x-8
令F'(x)＞0得出单调递增区间
6x²+8x-8＞0
3x²+4x-4＞0
(3x-2)(x+2)＞0
x＜-2 或 x＞3/2
单调增区间是(-∞,-2)∪(3/2,+∞)
令F'(x)＜0得出单调递减区间
6x²+8x-8＜0
3x²+4x-4＜0
(3x-2)(x+2)＜0
-2＜x＜3/2
单调增区间是(2,3/2)
2
f(x)=2x²-10x
g(x)=-37/x
函数公共点为方程2x²-10x=-37/x的解.
即2x³-10x²+37=0
设h(x)=2x³-10x²+37.可利用导数确定单调性及取值范围进行讨论
h'(x)=6x²-20x
令h'(x)=0
得出h(0),h(10/3)为h(x)的驻点，判断驻点左右的单调性可知
h(0)=37是最大值，h(10/3)=-1/27取得最小值
设a,b,c为h(x)=0的三个零点。(a<b<c)
根据最大值，最小值及单调性可画出草图 得到
a＜0,0＜b＜10/3＜c
又因为h(3)=1＞0，h(4)=5＞0，而最小值点h(10/3)＜0
所以3＜b＜c＜4 m值存在，即m=3
又因为另外一个根a＜0
所以a不可能在区间(3,4)中。
所以当m=3时，存在区间（3,4)内f(x),g(x)有且仅有两个公共点