Question

证明群G的子集H是G的子群，当且仅当 h≠Φ,a,b∈H→a(b^-1)∈H

Answer 1

必要性：若H是G的子群，自然非空，并对乘法和取逆封闭，从而H≠∅,并对任意a,b∈H,有ab⁻¹∈H。

充分性：首先，由H≠，可取a∈H，由条件得e=aa∈H，因此H包含G的单位元e。

子集是一个数学概念：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集。符号语言：若∀a∈A，均有a∈B，则A⊆B。

真子集

如果集合A是B的子集，且A≠B，即B中至少有一个元素不属于A，那么A就是B的真子集，可记作：A⊊B。

符号语言：若∀a∈A，均有a∈B，且x∈B使x∉A，则A⊊B。集合A就是集合B的真子集。

Answer 2

必要性:
若H是G的子群, 自然非空, 并对乘法和取逆封闭,
从而H ≠ ∅, 并对任意a, b ∈ H, 有ab⁻¹ ∈ H.

充分性:
首先, 由H ≠ ∅, 可取a ∈ H, 由条件得e = aa⁻¹ ∈ H,
因此H包含G的单位元e.
于是对任意b ∈ H, 由条件得b⁻¹ = eb⁻¹ ∈ H,
因此H对取逆封闭.
而对任意a, b ∈ H, 有b⁻¹ ∈ H,
进而由条件得ab = a(b⁻¹)⁻¹ ∈ H,
因此H对乘法封闭.

至此我们证明了, H对G的乘法封闭.
1) G作为群, 其乘法自然满足结合律;
2) e ∈ H, e作为G的单位元, 满足对任意a ∈ H, ae = ea = a;
3) 对任意b ∈ H, 有b⁻¹ ∈ H, 满足bb⁻¹ = b⁻¹b = e.
因此G的非空子集H关于G乘法构成群, 即H是G的子群.

注: 如果承认子群的等价定义: 对乘法和取逆封闭的非空子集,
则充分性证明只需前半段.