Question

设数列{a n }的前n项和为S n ，且 a 1 =1， S n+1 =4 a n +2(n∈ N * ) ，（Ⅰ）设 b n

设数列{a n }的前n项和为S n ，且 a 1 =1， S n+1 =4 a n +2(n∈ N * ) ，（Ⅰ）设 b n = a n 2 n ，求证：数列{b n }是等差数列；（Ⅱ）求数列{a n }的通项公式．

Answer 1

（Ⅰ）由s n+1 =4a n +2，得n≥2时s n =4a n-1 +2…（2分） 两式相减得 a n+1 =4a n -4a n-1      …（4分） 等式两边同除以2 n+1 得， a n+1 2 n+1 = 4 a n 2 n+1 - 4 a n-1 2 n+1 ， 即 a n+1 2 n+1 = 2 a n 2 n - a n-1 2 n-1 ， 由 b n = a n 2 n 得b n+1 =2b n -b n-1 ，所以b n+1 +b n-1 =2b n ． 所以{b n }是等差数列．…（7分） （II）根据等差数列求得 b 1 = a 1 2 = 1 2 ，S 2 =a 1 +a 2 =4a 1 +2，所以a 2 =5， 所以 b 2 = a 2 4 = 5 4 ，所以公差d= b 2 - b 1 = 5 4 - 1 2 = 3 4 ， 所以 b n = 1 2 + 3 4 (n-1)= 3 4 n- 1 4 ． 代入a n =2 n ?b n 得  a n =(3n-1)? 2 n-2 …（13分）