Question

已知函数f（x）=sin2x+3sinxcosx-2cos2x（x∈R）．（1）求函数f（x）的最小正周期和函数f（x）的图象的对

已知函数f（x）=sin2x+3sinxcosx-2cos2x（x∈R）．（1）求函数f（x）的最小正周期和函数f（x）的图象的对称轴方程；（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若sin2A=3sinBsinC，求f（A）的取值范围．

Answer 1

（1）f（x）=sin²x+

3

sinxcosx-2cos²x
=

3

2

sin2x-

3

2

cos2x-

1

2

=

( 3 2 )2+(? 3 2 )2

sin（2x+φ）-

1

2

．（其中tanφ=

? 3 2

3 2

=-

3

．故φ=?

π

3

）
=

3

sin（2x-

π

3

）-

1

2

．
故最小正周期T=

2π

2

=π．
故由2x-

π

3

=kπ+

π

2

，k∈Z得函数f（x）的图象的对称轴方程为：x=

kπ

2

+

5π

12

，k∈Z．
（2）因为sin²A=3sinBsinC，由正弦定理得a²=3bc，
由余弦定理得cosA=

b2+c2?a2

2bc

≥

2bc?3bc

2bc

=-

1

2

．
因为0＜A＜π，所以可得0＜A≤

2π

3

，故-

π

3

＜2A?

π

3

≤π，
故f（A）_max=

3

-

1

2

；f（A）_min=-

3

-

1

2

．
即有f（A）的取值范围为[-

3

-

1

2

，

3

-

1

2

]．