Question

已知函数f（x）=xlnx+1，g（x）=ax-1-lnx（Ⅰ）求f（x）的最小值；（Ⅱ）讨论函数g（x）的单调性；（Ⅲ）

已知函数f（x）=xlnx+1，g（x）=ax-1-lnx（Ⅰ）求f（x）的最小值；（Ⅱ）讨论函数g（x）的单调性；（Ⅲ）是否存在常数K，使Kf(x)≤ex-f'（x）恒成立，若存在，求出K的最大值，若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）f（x）的导数f'（x）=1+lnx．-------------（1分）
令f'（x）＞0，解得x＞

1

e

；令f'（x）＜0，解得0＜x＜

1

e

．
从而f（x）在(0，

1

e

)单调递减，在(

1

e

，+∞)单调递增．------------------------（3分）
所以，当x＝

1

e

时，f（x）取得最小值1?

1

e

．---------------------------------（4分）
（Ⅱ）∵g（x）=ax-1-lnx，∴f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)＝a?

1

x

＝

ax?1

x

当a≤0时，f'（x）＜0，f（x）在（0，+∞）是单调递减函数；---------------（5分）
当a＞0时，令f'（x）=0，∴x＝

1

a

∈(0，+∞)，f′(x)、f(x)随x的变化情况如下表：

x	（0， 1 a ）	1 a	( 1 a ，+∞)
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

从上表可以看出：当a＞0 时，f（x）在区间上(

1

a

，+∞)是单调增函数--------------（7分）
在上（0，

1

a

）是单调递减函数--------------------------（8分）
（Ⅲ）∵f(x)≥1?

1

e

＞0ex-f'（x）=ex-1-lnx所以

K

f(x)

≤ex?f′(x)，恒成立
即K≤（ex-1-lnx）?f（x）恒成立---------------------------------（9分）
由（Ⅱ）可知，当a=e，g（x）=ex-1-lnx在区间(0，

1

e

)上是减函数，在区间(

1

e

，+∞)上是增函数
故当x＝

1

e

时，g（x）=ex-1-lnx的最小值为g(

1

e

)＝1----------------（11分）
又由（Ⅰ）可知，当x＝

1

e

时，f（x）取得最小值f(

1

e

)=1?

1

e

＞0-----------12 分
故函数y=（ex-1-lnx）?f（x）当x＝

1

e

时，取得最小值1?

1

e

∴K≤1?

1

e

---------------（13分）
即K的最大值为1?

1

e

----------------------------（14分）