已知函数f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-2．（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（2）若函数y=
已知函数f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-2．（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（2）若函数y=f（x）与y=g（x）的图象恰有一个公共...
已知函数f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-2．（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（2）若函数y=f（x）与y=g（x）的图象恰有一个公共点，求实数a的值；（3）若函数y=f（x）+g（x）有两个不同的极值点x1，x2（x1＜x2），且x2-x1＞ln2，求实数a的取值范围．
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（1）由f′（x）=lnx+1=0，可得x=
∴①0＜t＜
时，函数f（x）在（t，
）上单调递减，在（
，t+2）上单调递增
∴函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值为f(
)＝?
；
②当t≥
时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，∴f（x）min=f（t）=tlnt，
∴f（x）min=
；
（2）函数y=f（x）与y=g（x）的图象恰有一个公共点，等价于f（x）-g（x）=xlnx+x2-ax+2=0在（0，+∞）上有且只有一根，即a=lnx+x+
在（0，+∞）上有且只有一根
令h（x）=lnx+x+
，则h′(x)＝
∴x∈（0，1）时，h′（x）＜0，函数单调递减；x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，函数单调递增
∴a=h（x）min=h（1）=3
（3）y=f（x）+g（x）=xlnx-x2+ax-2，则y′=lnx-2x+1+a
题意即为y′=lnx-2x+1+a=0有两个不同的实根x1，x2（x1＜x2），
即a=-lnx+2x-1有两个不同的实根x1，x2（x1＜x2），
等价于直线y=a与函数G（x）=-lnx+2x-1的图象有两个不同的交点
∵G′(x)＝?
+2，∴G（x）在（0，
）上单调递减，在（
，+∞）上单调递增
画出函数图象的大致形状（如右图），
由图象知，当a＞G（x）min=G（
）=ln2时，x1，x2存在，且x2-x1的值随着a的增大而增大
而当x2-x1=ln2时，由题意
| 1 |
| e |
∴①0＜t＜
| 1 |
| e |
| 1 |
| e |
| 1 |
| e |
∴函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值为f(
| 1 |
| e |
| 1 |
| e |
②当t≥
| 1 |
| e |
∴f（x）min=
|
（2）函数y=f（x）与y=g（x）的图象恰有一个公共点，等价于f（x）-g（x）=xlnx+x2-ax+2=0在（0，+∞）上有且只有一根，即a=lnx+x+
| 2 |
| x |
令h（x）=lnx+x+
| 2 |
| x |
| (x+2)(x?1) |
| x2 |
∴x∈（0，1）时，h′（x）＜0，函数单调递减；x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，函数单调递增
∴a=h（x）min=h（1）=3
（3）y=f（x）+g（x）=xlnx-x2+ax-2，则y′=lnx-2x+1+a
题意即为y′=lnx-2x+1+a=0有两个不同的实根x1，x2（x1＜x2），
即a=-lnx+2x-1有两个不同的实根x1，x2（x1＜x2），
等价于直线y=a与函数G（x）=-lnx+2x-1的图象有两个不同的交点
∵G′(x)＝?
| 1 |
| x |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
画出函数图象的大致形状（如右图），
由图象知，当a＞G（x）min=G（
| 1 |
| 2 |
而当x2-x1=ln2时，由题意
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