Question

设p：实数x满足x 2 -4ax+3a 2 ＜0，其中a≠0，q：实数x满足 x 2 -x-6≤0 x

设p：实数x满足x 2 -4ax+3a 2 ＜0，其中a≠0，q：实数x满足 x 2 -x-6≤0 x 2 +2x-8＞0 （Ⅰ）若a=1，p且q为真，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）由x 2 -4ax+3a 2 ＜0，得：（x-3a）（x-a）＜0， 当a=1时，解得1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3． 由 x 2 -x-6≤0 x 2 +2x-8＞0 ，得：2＜x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3． 若p且q为真，则p真且q真， 所以实数x的取值范围是2＜x＜3．                （Ⅱ） p是q的必要不充分条件，即q推出p，且p推不出q， 设A={x|p（x）}，B={x|q（x）}，则B是A的真子集， 又B=（2，3]，当a＞0时，A=（a，3a）；a＜0时，A=（3a，a）． 所以当a＞0时，有 a≤2 3＜3a ，解得1＜a≤2， 当a＜0时，显然A∩B=?，不合题意． 所以实数a的取值范围是1＜a≤2．