Question

已知数列{an}和{bn}满足a1=2，2an=1+anan+1，bn=an-1．（1）求证：数列{1bn}为等差数列，并求数列{an}通

已知数列{an}和{bn}满足a1=2，2an=1+anan+1，bn=an-1．（1）求证：数列{1bn}为等差数列，并求数列{an}通项公式；（2）数列{bn}的前n项和为Sn，令Tn=S2n-Sn，求Tn的最小值．

Answer 1

（1）2a_n=1+a_na_n+1，b_n=a_n-1，
∴b_n-b_n+1=b_nb_n+1，
∴

1

bn+1

?

1

bn

＝1，
∴数列{

1

bn

}是公差为1，首项为1等差数列，
∴

1

bn

＝n，即bn＝

1

n

，
∴an＝

1

n

+1，即bn＝

1

n

．
（2）T_n=S_2n-S_n=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

，
∵Tn+1?Tn＝

1

2n+1

+

1

2n+2

?

1

n+1

＞0
∴{T_n}单调递增                   
∴Tn≥T1＝

1

2

，
∴T_n的最小值为

1

2

．