Question

【选修4--5；不等式选讲】设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：（Ⅰ）ab+bc+ca≤13（Ⅱ）a2b+b2c+c2a≥1

【选修4--5；不等式选讲】设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：（Ⅰ）ab+bc+ca≤13（Ⅱ）a2b+b2c+c2a≥1．

Answer 1

解答：证明：（Ⅰ）由a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，c²+a²≥2ca得：
a²+b²+c²≥ab+bc+ca，
由题设得（a+b+c）²=1，即a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca=1，
所以3（ab+bc+ca）≤1，即ab+bc+ca≤

1

3

．
（Ⅱ）因为

a2

b

+b≥2a，

b2

c

+c≥2b，

c2

a

+a≥2c，
故

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

+（a+b+c）≥2（a+b+c），即

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

≥a+b+c．
所以

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

≥1．