Question

高中函数问题。

f(x)=（e^x-e^-x）/2 X属于R。
2）若不等式F(KX^2+1)+F(K-X)>0在K属于[-1,1]恒成立，求X的取值范围

Answer 1

f(x)=（e^x-e^-x）/2
f(-x)=（e^-x-e^x）/2=-f(x)
所以f(x)是奇函数。
令X2>X1
f(X2)-f(X1)= [e^X2-e^(-X2)-e^X1+e^(-X1)]/2
={(e^X2-e^X1)+[e^(-X1)-e^(-X2)]}/2
={(e^X2-e^X1)+[e^(X1)-e^(X2)]/e^(X1+X2)}/2
=(e^X2-e^X1)[1+1/e^(X1+X2)]/2
因为X2>X1，所以e^X2-e^X1>0,1+1/e^(X1+X2)>0
所以f(X2)>f(X1),即f(x)在R上单调递增。

F(KX^2+1)+F(K-X)>0
F(KX^2+1) > - F(K-X)=F(X-K) (奇函数)
KX^2+1>X-K (增函数)
KX^2-X+K+1>0
(X-1)/（X²+1）< k 在k∈[-1,1]上恒成立
(X-1)/（X²+1)<-1 (小于K的最小值)
-1<x<0

不知道对不对。