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设集合A={1,2,3},B={1,2,3},从A到B的函数f满足f(f(x))=f(x),这样的函数共有多少个将详细点谢谢了我还会加分... 设集合A={1,2,3},B={1,2,3},从A到B的函数f满足f(f(x))=f(x),这样的函数共有多少个

将详细点 谢谢了 我还会加分
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数论_高数
2010-10-04 · TA获得超过4847个赞
知道大有可为答主
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如果是满射的话,当然就是一一映射。这个时候只有恒等映射满足f(f(x))=f(x),即此时f(x)=x.

不是满射的情形,如果值域是单元素集,那么必然满足要求。即此时有三个函数f(x)=1,f(x)=2,f(x)=3满足要求。

值域有两个元素的稍难理解些。以值域={1,2}为例来说明,首先必有f(1)=1,f(2)=2,否则就有f(1)=2或者f(2)=1.如果f(1)=2,则f(f(1))=f(2)=f(1)=2,必有f(3)=1,但是f(f(3))=f(3)=f(1)=2,这是一个矛盾。同理f(2)=1亦不可行。
这就说明了值域={1,2}时,f(1)=1,f(2)=2。至于f(3)可取1,2中任一个值.也就是说有两个函数值域是{1,2}满足要求。同理值域为{1,3},{2,3}的情形也分别有两个函数符合要求。

综上可知共有10个函数符合题目要求,它们是:
(1)f(x)=x;
(2)f(x)=1;
(3)f(x)=2;
(4)f(x)=3;
(5)f(x):=f(1)=1,f(2)=2,f(3)=1;
(6)f(x):=f(1)=1,f(2)=2,f(3)=2;
(7)f(x):=f(1)=1,f(2)=1,f(3)=3;
(8)f(x):=f(1)=1,f(2)=3,f(3)=3;
(9)f(x):=f(1)=2,f(2)=2,f(3)=3;
(10)f(x):=f(1)=3,f(2)=2,f(3)=3.
瞌睡打哈欠
2010-10-18 · TA获得超过408个赞
知道答主
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10.
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