Question

求大神指点，f（|x|）在点x=0处可导的充分必要条件为什么是f'（0）=0？

Answer 1

证明：①充分性： f(0)=0 ,则：
F'(0)
=lim(x->0) [f(x)(1+|sinx|)-f(0)(1+|sin0|]/x
=lim(x->0) f(x)(1+|sinx|)/x
=lim(x->0) [f(x)-f(0)]/x* (1+|sinx|)
= f'(0)*1
= f'(0)
②必要性：F（x）在x=0处可导,则：
F'(0+0)=F'(0-0)
由导数极限定理【此处也可改为极限式计算】：
F'(0+0)
=lim(x->0+) [f(x)(1+sinx)]'
=lim(x->0+) [f'(x)(1+sinx)+f(x)*cosx]
=f'(0)+f(0)
F'(0-0)
=lim(x->0+) [f(x)(1-sinx)]'
=lim(x->0+) [f'(x)(1-sinx)-f(x)*cosx]
=f'(0)-f(0)
∵F'(0+0)=F'(0-0)
∴f'(0)+f(0)=f'(0)-f(0)
∴ f(0)=0

希望对你有所帮助 还望采纳~~

追问

啊？

追答

什么？

追问

你这个答案和我问的不是一道题吧？

追答

是一个题目的啊

追问

我那个充分必要条件是f'（0）=0