Question

单调性和奇偶性问题！谢谢！

定义在R上的函数f（x）（f（x）≠0）满足对任意实数x1，x2，总有f(x1+x2)=f(x1)f(x2),
且x＞0时，0＜f（x）＜1，判断f(x)的单调性。
（2）定义在R上的函数f（x）（f（x）≠0）满足对任意实数x1，x2，总有f(x1+x2)=x2f(x1)+x1f(x2)，判断f(x)的奇偶性。
谢谢！

Answer 1

(1).解：
f(0+0)=f(0)*f(0),即f(0)=f²(0)，即f(0)=0,或者f(0)=1
∵f(x)≠0，∴f(0)=1
f(-x+x)=f(-x)f(x),即f(0)=f(-x)f(x)=1,即f(-x)=1/f(x)
∴f(x1-x2)=f(x1)*f(-x2)=f(x1)/f(x2)
①设X1>X2>0,则f(X2)>0
又∵X1-X2＞0，∴f(X1-X2)＞1
f(X1-X2)=f(X1)/f(X2)＞1，即f(X1)＞f(X2)
∴当x＞0时，f(x)为增函数
②设0≥X1>X2,则f(X2)=1/f(-X2)>0
又∵X1-X2＞0，∴f(X1-X2)＞1
f(X1-X2)=f(X1)/f(X2)＞1，即f(X1)＞f(X2)
∴当x≤0时，f(x)为增函数
综上所述：
f(x)在区间(-∞,0]和(0,+∞)上分别为增函数

(2).解：
f(x+y)=yf(x)+xf(y)
f(0+0)=0,∵f(x)≠0，∴定义域为x≠0
f(x+x)=xf(x)+xf(x),即f(2x)=2xf(x),即f(x)=xf(x/2)
①如果f(x)为奇函数，则f(-x)+f(x)=0
即f(-x)+f(x)=-xf(-x/2)+xf(x/2)=x[f(x/2)-f(-x/2)]=0
即f(x/2)=f(-x/2)，则f(x)为偶函数，故f(x)恒=0，与题目f(x)≠0矛盾，舍去
②如果f(x)为偶函数，则f(-x)-f(x)=0
即f(-x)-f(x)=-xf(-x/2)-xf(x/2)=-x[f(x/2)+f(-x/2)]=0
即f(x/2)=-f(x/2)，则f(x)为奇函数，故f(x)恒=0，与题目f(x)≠0矛盾，舍去
综上所述：
f(x)为非奇非偶函数。