Question

在三角形ABC中,若C=2A,则(c-a)/b的取值范围是

Answer 1

由正弦定理得
c-a/b=(sinC-sinA)/sinB
因为A+B+C=180，所以sinB=sin(A+C)
代入条件C=2A
(c-a)/b=(sin2A-sinA)/sin3A

sin2A=2sinAcosA，sin3A=3sinA-4sin³A，代入并约去sinA
(c-a)/b=(2cosA-1)/(3-4sin²A)=(2cosA-1)/(4cos²A-1)=1/(2cosA+1)

因为A+B+C<180，所以A+2A<180，A<60
所以1/2<cosA<1，2<2cosA+1<3
所以1/3<1/(2cosA+1)<1/2
即(c-a)/b的取值范围是1/3<(c-a)/b<1/2，用区间表示为(1/3,1/2)