Question

函数f(x)=e(mx-1)-lnx/x有最小值为m

Answer 1

函数f(x)＝lnx−
m
x
的定义域为（0，+∞），
f′(x)＝
1
x
+
m
x2
．
当f′（x）=0时，
1
x
+
m
x2
＝0，此时x=-m，如果m≥0，则无解．
所以，当m≥0时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，所以f（x）min=f（1）=-m=4，m=-4，矛盾舍去；
当m＜0时，
若x∈（0，-m），f′（x）＜0，f（x）为减函数，若x∈（-m，+∞），f′（x）＞0，f（x）为增函数，
所以f（-m）=ln（-m）+1为极小值，也是最小值；
①当-m＜1，即-1＜m＜0时，f（x）在[1，e]上单调递增，所以f（x）min=f（1）=-m=4，所以m=-4（矛盾）；
②当-m＞e，即m＜-e时，f（x）在[1，e]上单调递减，f（x）min=f（e）=1-
m
e
=4．所以m=-3e．
③当-1≤-m≤e，即-e≤m≤-1时，f（x）在[1，e]上的最小值为f（-m）=ln（-m）+1=4．此时m=-e3＜-e（矛盾）．
综上m=-3e．