Question

大一高数微分方程的通解问题 （1）xy'+1=e^y；（2）y''-y=xe^-x

Answer 1

令y(x)=u(x)*e^{x}带入化简可得:u''+2u'+2u-x=0
令v(x)=u(x)+(1-x)/2带入化简可得:v''+2v'+2v=0
解得v(x)=(acosx+bsinx)*e^{-x}
从而u(x)=v(x)+(x-1)/2=(acosx+bsinx)*e^{-x}+(x-1)/2
从而y(x)=u(x)*e^{x}=acosx+bsinx+[(x-1)/2]*e^{x}

一般在特解不知的情况下,观察非线性项,上面方法可以给出通解.
依你的题意,给出了特解[(x-1)/2]*e^{x},微分方程的通解就是y''+y=0之解acosx+bsinx与特解的和.
也就是把方程的非线性项去掉,解出线性方程的通解,再叠加特解.

Answer 2

1)xdy/dx=e^y-1
dy/(e^y-1)=dx
d(e^y)[1/(e^y-1)-1/e^y]=dx
积分：ln|(e^y-1)/e^y|=x+c1
(e^y-1)/e^y=ce^x
y=-ln(1-ce^x)
2)
特征根为：1,
-1,
因此通解为：y1=c1e^x+c2e^(-x)
特解可设为：y2=x(ax+b)e^(-x)
y2'=(2ax+b-ax^2-bx)e^(-x)
y2"=(2a-4ax-2b+ax^2+bx)e^(-x)
代入原方程：2a-4ax-2b=x
比较系数得：2a-2b=0,
-4a=1,
得：a=b=-1/4,
因此原方程通解为：y=y1+y2=c1e^x+c2e(-x)-x(x+1)/4*
e^(-x)