Question

当n为正数时，求证：n（n+1）（2n+1）为6的倍数

Answer 1

n(n+1)(2n+1)=n(n+1)(n-1+n+2)=(n-1)n(n+1)+n(n+1)(n+2)
而
n-1
n
n+1是连续的三个整数，其中必有一个是3的倍数，至少有一个是2的倍数

所以（n-1)n(n+1)是6的倍数
同理
n(n+1)(n+2)也是6的倍数

他们的和
n(n+1)(2n+1)也是6的倍数

Answer 2

一种解法
n和n+1有一个是偶数
所以n(n+1)(2n+1)能被2整除
若n能被3整除，则n(n+1)(2n+1)能被3整除
若n除3余数是2，则n+1除3余数是3，即能整除
若n除3余数是1，3k+1，则2n+1=6k+2+1=6k+3能被3整除
所以能被3整除
2和3互质，所以能被3整除能被2*3=6整除
二种解法
n除以3的余数只有3个可能:0,1,2.
可以把n分3类:3k,3k+1,3k+2
k表示整数
1.n=3k
显然n(n+1)(2n+1)能被3整除
2.n=3k+1
2n+1=2(3k+1)+1=6k+3=3(2k+1),能被3整除
显然n(n+1)(2n+1)能被3整除
3.n=3k+2
n+1=3k+3能被3整除
显然n(n+1)(2n+1)能被3整除