Question

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函数f(x)的定义域是x不等于0，对定义域内的任意x，y都有f(xy)=f(x)+f(y),且当x>1时，f(x)>0,f(2)=1
1、求证f(x)是偶函数
2、求证f(x)在0到正无穷上是增函数
3、解不等式f(2x^2-1)<2

Answer 1

1:
f(1*1)=f(1)+f(1)=2f(1);
∴f(1)=0;
f(1)=f((-1)*(-1))=2f(-1)=0;
∴f(-1)=0;
对任意f(-x)=f(-1*x)=f(x)+f(-1);
即f(-x)=f(x);
∴f(x)是偶函数
2:
取任意0<x<y;
则f(y)=f(x)+f(y/x)，y/x>1;
由题可知f(y/x)>o;
∴f(y)>f(x);
∴f(x)在0到正无穷上是增函数
3:
若f(2x^2-1)<2；
即f(2x^2-1)<1+1=f(2)+f(2)=f(4);
∵f(x)在0到正无穷上是增函数；
只需2x^2-1<4;
即2x^2<5;

剩下的你肯定会了
一直打公式可比光打字麻烦多了，你自己写吧
前两问很经典，我建议你背下来
以后看到条件“对定义域内的任意x，y都有f(xy)=f(x)+f(y),且当x>1时，f(x)>0”就要想到“f(x)是偶函数
f(x)在0到正无穷上是增函数”
这会对你以后做题有帮助

Answer 2

1、令y=1，则有f(x)=f(x)+f(1),f（1）=0
再令x=y=-1,则有f（1）=2f(-1),则f（-1）=0
令y=-1,则f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x），即f(x)为偶函数
2设0<x<y,则f（y)-f(x)=f(y/x）
因为0<x<y 所以 y/x>1 即f(y/x）>0 f(y)>f(x)
即f(x)在0到正无穷上是增函数
3令x=y=2则有f（4）=2f(2)=2
即解一个不等式就行了 注意定义域 自己解吧

Answer 3

这是哪个老师出的题啊？应该捶她。