Question

如图，在矩形abcd中，E为AD中点，EF垂直EC交AB于F，联结FC（AB＞AE）。△AEF与△EFC相似吗？请说明理由

Answer 1

∠AEF = 180°-∠CEF-∠CED = 90°-∠CED = ∠DCE ，
因为，∠EAF = 90°= ∠CDE ，∠AEF = ∠DCE ，
所以，△AEF ∽ △DCE ，
可得：EF∶CE = AF∶DE = AF∶AE ；
因为，∠EAF = 90°= ∠CEF ，EF∶CE = AF∶AE ，
所以，△AFE ∽ △EFC 。

Answer 2

(1)相似
证明：延长FE,CD交于点P
AE=ED 角AEF=角EPD
所以直角三角形AEF和EPD全等
所以FE=EP 即EC为FP中垂线
所以角FCE=角ECD
所以直角三角形EFC相似于EDC
且直角三角形EDC相似于AEF
得证

Answer 3

解：（1）△AEF∽△ECF．证明如下：
延长FE与CD的延长线交于G，
∵E为AD的中点，AE=DE，∠AEF=∠GED，
∴Rt△AEF≌Rt△DEG．∴EF=EG．
∵CE=CE，∠FEC=∠CEG=90°，
∴Rt△EFC≌Rt△EGC．
∴∠AFE=∠EGC=∠EFC．
又∠A=∠FEC=90°，
∴Rt△AEF∽Rt△ECF．