Question

设二次函数f(x)在x=1时有最大值5，二次函数g(x)在x=1时的值是25，且有最小值-2，

又f(x)+g(x)=x~2+16x+13，求g(x)

Answer 1

∵二次函数f(x)在x=1时有最大值5，
∴可设f(x)=m(x-1)²+5，(m<0)，
f(x)=mx²-2mx+m+5，

设二次函数g(x)=ax²+bx+c，(x≠0)，
∵函数g(x)有最小值-2，
∴a>0，且b²-4ac= -2， ①

∵f(x)+g(x)= (mx²-2mx+m+5)+( ax²+bx+c)
=(m+a)x²+(b-2m)x+(m+c+5)，
又由已知，f(x)+g(x)=x²+16x+13，
∴m+a=1，b-2m=16，m+c+5=13，
即a=1-m，b=2m+16，c=8-m.

代入①，得
(2m+16)²-4(1-m)(8-m)= -2，
∴m= -2.26，
∴a=1-m=3.26，b=2m+16=11.48，c=8-m=10.26，
g(x)=3.26x²+11.48x+10.26.

题目好像有点不对，条件“g(x)在x=1时的值是25”没用到啊？

Answer 2

二次函数f(x)在x=1时有最大值5
设f(x)=-a(x-1)^2+5
=-ax^2+2ax-a+5

二次函数g(x)有最小值-2
设g(x)=A(x+B)^2-2
=Ax^2+2ABx+AB^2-2

f(x)+g(x)=x^2+16x+13
得方程组
A-a=1 (1)
2AB+2a=16 (2)
AB^2-2-a+5=13 (3)
由(1)得 a=A-1 代入（2）
2AB+2(A-1)=16
2AB+2A-2=16
A=9/(B+1) 代入（3）
解得 B1=-1(B+1=0,舍弃),
B2=2，A=3,a=2
所以 f(x)=-2x^2+4x+3
g(x)=3x^2+12x+10

Answer 3

解：由题设可设函数f(x)=a(x-1)²+5,g(x)=b(x-1)(x+c)+25.(a＜0,b＞0).∴由题设可得：a(x-1)²+5+b(x-1)(x+c)+25=x²+16x+13.展开移项合并得：(a+b-1)x²+[b(c-1)-2a-16]x+(a-bc+17)=0.∴a+b-1=0,且b(c-1)-2a-16=0,且a-bc+17=0.∴消去a可得bc+b=18.又函数g(x)=b(x-1)(x+c)+25=bx²+b(c-1)x+25-bc有最小值-2，∴[4b(25-bc)-b²(c-1)²]/(4b)=-2.===>b(c+1)²=108.结合bc+b=18,(b＞0)可得b=3,c=5.∴函数g(x)=3x²+12x+10.

Answer 4

g(x)= 3x^2+12x+10

解由f(x)+g(x)=x^2+16x+13得f(1)+g(1)=1^2+16+13=30
f(x)在x=1时有最大值5,即f(1)=5,故g(1)=30-f(1)=25,
该题给的条件g(x)在x=1时的值是25是多余的.
2次函数f(x)在x=1时有最大值5,故可设f(x)=a(x-1)^2+5,a<0,
2次函数g(x)最小值-2,故设g(x)=b(x-c)^2-2,b>0,于是有
f(x)+g(x)=a(x-1)^2+5+b(x-c)^2-2
=(a+b)x^2-(2a+2bc)x+a+bc^2+3
由题的条件得
f(x)+g(x)=x^2+16x+13
比较上面两式右边系数得
a+b=1 (1)
a+bc=-8 (2)
a+bc^2=10 (3)
由(1)得a=1-b代入(2)(3)得
b-bc=9, (4)
b-bc^2=-9 (5)
(4)(5)两式相加得bc^2+bc-2b=0,由b≠0得c^2+c-2=0
解得c=1或c=-2,
如果c=1代入(4)得0=9矛盾,故c=-2,代入(4)得b=3,再代入(1)得a=-2,故
g(x)=3(x+2)^2-2=3x^2+12x+10
此时
f(x)=-2(x-1)^2+5=-2x^2+4x+3