Question

如图所示，已知∠ACB=90°，AD是∠CAB的平分线，BC=4,CD=3/2，求AC的长

图形的描述：上面的角为直角，上点为C，左右分别为A,B点，过A做角平分线到CB上，交CB于D

Answer 1

在D点作DE垂直于AB,交AB于点E
∵AD是∠CAB的平分线,
∴DC=DE=2/3 ,AC=AE(角平分线定理)
在Rt△DEB中，∵DE=2/3,DB=CB-CD=5/2
∴BE=2
设AC=AE=a,由AB²=AC²+BC²得
（a+2）²=a²+4²
解得 a=3
∴AC=3

Answer 2

做DE垂直AB
显然三角形ADC和ADE全等
设AC=x
则AE=x
BD=BC-CD=10/3
DE=CD=2/3
则直角三角形BDE中
BE=√(BD²-DE²)=4√6/3
所以AB=AE+BE=x+4√6/3
BC=4
AC=x
所以x²+4²=(x+4√6/3)²
x²+16=x²+8√6x/3+96/9
8√6x/3=16/3
AC=x=√6/3

Answer 3

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