Question

（2013?乌鲁木齐）如图．点A、B、C、D在⊙O上，AC⊥BD于点E，过点O作OF⊥BC于F，求证：（1）△AEB∽△OFC

（2013?乌鲁木齐）如图．点A、B、C、D在⊙O上，AC⊥BD于点E，过点O作OF⊥BC于F，求证：（1）△AEB∽△OFC；（2）AD=2FO．

Answer 1

证明：（1）如图，连接OB，则∠BAE=

1

2

∠BOC，
∵OF⊥BC，
∴∠COF=

1

2

∠BOC，
∴∠BAE=∠COF，
又∵AC⊥BD，OF⊥BC，
∴∠OFC=∠AEB=90°，
∴△AEB∽△OFC；

（2）∵△AEB∽△OFC，
∴

AE

BE

=

FO

FC

，
由圆周角定理，∠D=∠BCE，∠DAE=∠CBE，
∴△ADE∽△BCE，
∴

AD

BC

=

AE

BE

，
∴

FO

FC

=

AD

BC

，
∵OF⊥BC，
∴BC=2FC，
∴AD=

BC

FC

?FO=2FO，
即AD=2FO．