Question

（本题满分14分）已知函数 （1）若函数 在 上为增函数，求实数 的取值范围（2）当 时，求 在 上的

（本题满分14分）已知函数 （1）若函数 在 上为增函数，求实数 的取值范围（2）当 时，求 在 上的最大值和最小值（3）求证：对任意大于1的正整数 ， 恒成立

Answer 1

（1） ；（2） ， ；（3）见解析。

试题分析：（1）先求出函数的导函数，把函数f（x）在[1，+∞）上为增函数转化为导函 数大于等于0恒成立问题，再转化为关于正实数a的不等式问题即可求出正实数a的取值范 围；（2）先求出函数的导函数以及导数为0的根，进而求出其在[ ，2]上的单调性即可 求f（x）在[ ，2]上的最大值和最小值．（3）运用第一问的结论f(x)>0，放缩法得打对 数式的不等式，进而的求和证明。 解：（1）由已知得 ，依题意得 对任意 恒成立 即 对任意 恒成立，而 （2）当 时， ，令 ，得 ，若 时， ，若 时， ，故 是函数在区间 上的唯一的极小值，也是最小值，即 ，而 ， 由于 ，则 （3）当 时，由（1）知 在 上为增函数 当 ，令 ，则 ，所以 即 所以 各式相加得 值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到 的，以及利用单调性确定参数范围，不等式的恒成立的证明。 点评：解决该试题的关键是第一问中根据单调递增性，说明了在给定区间的导数恒大于等于 零，得到参数的取值范围。第二问，先求解极值和端点值，比较大小得到结论。