Question

A，B是抛物线y2=2px（p＞0）上的两点，且OA⊥OB．（1）求A，B两点的横坐标之积和纵坐标之积；（2）求弦AB

A，B是抛物线y2=2px（p＞0）上的两点，且OA⊥OB．（1）求A，B两点的横坐标之积和纵坐标之积；（2）求弦AB中点P的轨迹方程；（3）求△AOB面积的最小值．

Answer 1

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中点P（x₀，y₀），
（1）k_0A=

y1

x1

，k_OB=

y2

x2

，
∵OA⊥OB，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∵y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
∴

y1 2

2p

?

y2 2

2p

+y₁y₂=0
∴y₁y₂=-4p²，x₁x₂=4p²，
（2）设OA：y=kx，代入y²=2px得x=0，x=

2p

k2

，
∴A（

2p

k2

，

2p

k

），同理以-

1

k

代k得B（2pk²，-2pk）
∴

x0＝p(k2+ 1 k2 ) y0＝p( 1 k ?k )

，消去k求得

x0

p

=（

y0

p

）²+2，即y₀²=px₀-2p²，即中点P轨迹方程为y²=px-2p²．
（3）S_△AOB=S_△AOM+S_△BOM=

1

2

|OM|（|y₁|+|y₂|）=p（|y₁|+|y₂|）≥2p

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