已知关于x的一元二次方程mx2-(2m+1)x+2=0.(1)求证:此方程总有两个实数根;(2)若此方程的两个实数
已知关于x的一元二次方程mx2-(2m+1)x+2=0.(1)求证:此方程总有两个实数根;(2)若此方程的两个实数根都是整数,求m的整数值;(3)若此方程的两个实数根分别...
已知关于x的一元二次方程mx2-(2m+1)x+2=0.(1)求证:此方程总有两个实数根;(2)若此方程的两个实数根都是整数,求m的整数值;(3)若此方程的两个实数根分别为x1、x2,求代数式m(x13+x23)-(2m+1)(x12+x22)+2(x1+x2)+5的值.
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解答:(1)证明:m≠0,
∵△=(2m+1)2-4m×2
=(2m-1)2≥0,
∴此方程总有两个实数根;
(2)解:方程的两个实数根为x=
,
∴x1=2,x2=
,
∵方程的两个实数根都是整数,且m为整数,
∴m=±1;
(3)解:∵方程的两个实数根分别为x1、x2,
∴mx12-(2m+1)x1+2=0,mx22-(2m+1)x2+2=0.
∴mx13-(2m+1)x12+2x1=0,mx23-(2m+1)x22+2x2=0.
∴原式=mx13-(2m+1)x12+2x1+mx23-(2m+1)x22+2x2+5
=0+0+5
=5.
∵△=(2m+1)2-4m×2
=(2m-1)2≥0,
∴此方程总有两个实数根;
(2)解:方程的两个实数根为x=
2m+1±
| ||
2m |
∴x1=2,x2=
1 |
m |
∵方程的两个实数根都是整数,且m为整数,
∴m=±1;
(3)解:∵方程的两个实数根分别为x1、x2,
∴mx12-(2m+1)x1+2=0,mx22-(2m+1)x2+2=0.
∴mx13-(2m+1)x12+2x1=0,mx23-(2m+1)x22+2x2=0.
∴原式=mx13-(2m+1)x12+2x1+mx23-(2m+1)x22+2x2+5
=0+0+5
=5.
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