Question

直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在同一球面上，AB=AC=AA1=2,角BAC=120°，则球O的表面积等于？

Answer 1

① 在△ABC中，分别作AB、BC的垂直平分线，交于点D, 连接BD，
则DA=DB=DC, ∴D为△ABC的外接圆圆心

又∵AB=AC=2,则△ABC为等腰△
线段AD平分BC，也平分∠CAB（120°），
∴∠DAB＝60°
又∵DA=DB
∴△ DAB为含一个内角为60°的等腰三角形，则为等边三角形，
则有AB=AD=BD=2

② △A’B’C’中, 分别作A’B’、B’C’的垂直平分线，交于点D’,
则D’为△A’B’C’的外接圆圆心。
连接DD’，则DD’为直三棱柱ABC-A’B’C’的外接球轴心。
DD’=AA’=2，取DD’的中点O，则O为球心，OD=1。
连接OA，OA为球的半径R。
而在直角△ADO中，AD=2，DO=1，则OA=根号5
③球的表面积为4πRR =4π（根号5的平方）=20π