Question

两道函数题

1、已知定义在（-1，1）上的奇函数f（x），在定义域上为减函数，且f(1-a)+f(1-2a)＞0，求a的范围。

2、已知：函数f（x）的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内任取的x1、x2总有f(x1乘x2)=f(x1)+f(x2)
求证：f（x）是偶函数

Answer 1

1.
根据定义域 -1<1-a<1
-1<1-2a<1
f(1-a)+f(1-2a)＞0 推出 f(1-a)>-f(1-2a)=f(-1+2a)(因为是奇函数f（x）)
又因为 在定义域上为减函数 所以 1-a>-1+2a

解得 0<a<2/3

2.因为
对定义域内任取的x1、x2总有f(x1乘x2)=f(x1)+f(x2)

令 x1=1 x2=-1
代入 得 f(-1)=f(1)+f(-1)
所以 f(1)=0
令 x1=-1 x2=-1
代入 得 f(1)=f(-1)+f(-1)
所以 f(-1)=0
令 x2=-1
f(-x2)=f(-1)+f(x2)

即 f(-x2)=f(x2)
所以是偶函数

Answer 2

1.(2/3,1)
2.x1=x2=1,得到f(1)=0,x1=x2=-1,f(-1)=0
x1=-1,得到：f(-x2)=f(-1)+f(x2)=f(x2)
f（x）是偶函数