Question

在三角形abc中内角abc对边分别为abc 已知Cos²B＋CosB=1-CosACosC求证abc为等

在三角形abc中内角abc对边分别为abc 已知Cos²B＋CosB=1-CosACosC求证abc为等比数列
若b=2 求三角形ABC的面积最大值

Answer 1

图

Answer 2

（1）
在△ABC中，显然有：cosB＝－cos（A＋C）＝sinAsinC－cosAcosC，
∴1＋cosB＝sinAsinC＋1－cosAcosC，
∴（cosB）^2＋（sinB）^2＋cosB＝sinAsinC＋1－cosAcosC，
又（cosB）^2＋cosB＝1－cosAcosC，∴（sinB）^2＝sinAsinC，结合正弦定理，得：
b^2＝ac，∴a、b、c成等比数列。
（2）
∵b^2＝ac，结合余弦定理，有：
cosB＝（a^2＋c^2－b^2）/（2ac）＝（a^2＋c^2）/（2ac）－1/2。
a、c明显是正数，∴cosB≧2ac/（2ac）－1/2＝1/2，∴B≦60°。
显然有：S(△ABC)＝（1/2）acsinB＝（1/2）b^2·sinB＝2sinB，
∴当sinB取最大值时，S(△ABC)最大，此时需要B＝60°，∴S(△ABC)≦2×（√3/2）＝√3。
∴△ABC面积的最大值是√3。