Question

已知直线y=2x+m与抛物线y=ax²+ax+b交于点M（1,0）点，且a＜b

（1）求抛物线y=ax²+ax+b顶点Q坐标（用含a的代数式表示）
（2）说明直线与抛物线有2个交点
（3）设抛物线与直线的另一个交点为N，求N点坐标（用a的式子表示）

Answer 1

(1) M(1,0)
y=2x+m
2×1+m=0
m=-2
直线：y=2x-2
y=ax^2+ax+b
a×1^2+a×1+b=0
2a+b=0
b=-2
抛物线：y=ax^2+ax-2a
=a(x^2+x+1/4)-2a-a/4
=a(x+1/2)^2-9a/4
顶点Q(-1/2,-9a/4)
(2)
ax^2+ax-2a=2x-2
ax^2+(a-2)x+2-2a=0
Δ=(a-2)^2-4a(2-2a)
=a^2-4a+4-8a+8a^2
=9a^2-12a+4
=(3a-2)^2
∵b=-2a且a<b
∴a<0
∴(3a-2)^2>0
即：Δ>0
因此，直线与抛物线有2个交点。
(3) 设N(m,n)
ax^2+(a-2)x+2-2a=0
M(1,0)和N(m,n)是交点
1+m=-(a-2)/a
m=(2-2a)/a
n=2(2-2a)/a-2
=(4-6a)/a
N((2-2a)/a,(4-6a)/a)
注：^2——表示平方。

Answer 2

把M代入直线得，m是-2，代入二次函数得2a+b=0，所以b=-2a代入
极值在对称轴是1处，代人二次函数