Question

设f(x)在[a,b]上二阶可导，f"(x)<0

Answer 1

由积分中值定理

∫(a→b)f(x)dx=(b-a)f(ξ) a<ξ<span ①又f(x)在[a,b]上二阶可导且f'(x)>0则

f(a)<f(ξ) a<ξ<b两边同乘以b-a得

(b-a)f(a)<(b-a)f(ξ) a<ξ<span ②又 f''(x)>0

∴ f(x)在[a,b]上为严格上凹函数

∴ f(ξ)<[f(a)+f(b)]/2 a<ξ<b

从而

(b-a)f(ξ)<(b-a)[f(a)+f(b)]/2 a<ξ<span ③由①②③得

(b-a)f(a)<∫(a→b)f(x)dx)<(b-a)[f(a)+f(b)]/2

一阶导数和二阶导数的区别

一阶导数是自变量的变化率，二阶导数就是一阶导数的变化率，也就是一阶导数变化率的变化率。连续函数的一阶导数就是相应的切线斜率。一阶导数大于0，则递增；一阶倒数小于0，则递减；一阶导数等于0，则不增不减。

二阶导数可以反映图象的凹凸。二阶导数大于0，图象为凹；二阶导数小于0，图象为凸；二阶导数等于0，不凹不凸。而二阶导数可以反映图象的凹凸。二阶导数大于0，图象为凹；二阶导数小于0，图象为凸；二阶导数等于0，不凹不凸。

Answer 2

由积分中值定理
∫(a→b)f(x)dx=(b-a)f(ξ) a<ξ<span ①又f(x)在[a,b]上二阶可导且f'(x)>0则
f(a)<f(ξ) a<ξ<b两边同乘以b-a得
(b-a)f(a)<(b-a)f(ξ) a<ξ<span ②又 f''(x)>0
∴ f(x)在[a,b]上为严格上凹函数
∴ f(ξ)<[f(a)+f(b)]/2 a<ξ<b
从而
(b-a)f(ξ)<(b-a)[f(a)+f(b)]/2 a<ξ<span ③由①②③得
(b-a)f(a)<∫(a→b)f(x)dx)<(b-a)[f(a)+f(b)]/2

Answer 3

引用bill8341的回答：
由积分中值定理
∫(a→b)f(x)dx=(b-a)f(ξ) a<ξ<span ①又f(x)在[a,b]上二阶可导且f'(x)>0则
f(a)<f(ξ) a<ξ<b两边同乘以b-a得
(b-a)f(a)<(b-a)f(ξ) a<ξ<span ②又 f''(x)>0
∴ f(x)在[a,b]上为严格上凹函数
∴ f(ξ)<[f(a)+f(b)]/2 a<ξ<b
从而
(b-a)f(ξ)<(b-a)[f(a)+f(b)]/2 a<ξ<span ③由①②③得
(b-a)f(a)<∫(a→b)f(x)dx)<(b-a)[f(a)+f(b)]/2

二导大于零是凸函数吧