Question

已知函数f(x)=a^x-a^-x/a^x+a^-x(a>0,a≠1) 求函数f（x）的值域。讨论函数f（x）的单调性

Answer 1

你可以从复合函数的角度去做，把a^x看成u,则原式可以化为f(u)=(u-u^-1)/(u+u^-10=（u^2-1）/（u^2+1）=1-2/(u^2+1）,函数在u属于（-无穷大，0）是减函数，在u属于（0，正无穷大）是增函数，
当0＜a＜1时，函数u=a^x在R都为减函数，所以根据同增异减得到，当x属于R，函数f(x)=a^x-a^-x/a^x+a^-x为减函数，要想求到值域就只能从极限去求了。
当a＞1时，函数u=a^x在R都为增函数，当x属于R，函数f(x)=a^x-a^-x/a^x+a^-x为增函数，要想求到值域就只能从极限去求了。
所以通过极限可得到，函数的值域为(-1,1)

Answer 2

f(x)=a^x-a^-x/a^x+a^-x =[1-a^(-2x)]/[(1+a^(-2x)]
a^(-2x)是减函数，1-a^(-2x)是增函数，1+a^(-2x)是增函数，1/[1+a^（-2x）]是增函数
所以f(x)=a^x-a^-x/a^x+a^-x =[1-a^(-2x)]/[(1+a^(-2x)]是增函数
当x->负无穷大时a^(-2x)->无穷大，f(x)的极限为limf(x)=lim[1-a^(-2x)]/[(1+a^(-2x)]=lim-a^(-2x)/a^(2x)=1
当x->正无穷大时a^(-2x)->0，f(x)的极限为limf(x)=lim[1-a^(-2x)]/[(1+a^(-2x)]=lim1/1=1
所以f(x)的值域为(-1,1)